Wie Viele Felder Hat Ein Schachbrett

Diese Frage ist mir vor ein paar Tagen auf Twitter über den Weg gelaufen. Der Hintergrund ist das geflügelte Wort vom "iv-dimensional chess", das in den United states of america bedeutet, so weit vorauszudenken, dass eine anscheinend unsinnige Handlung eben doch Sinn ergibt.

Daraufhin schrieb die Journalistin Helen Rosner in einem inzwischen gelöschten Tweet, dass ganz offensichtlich jedes Schachspiel vierdimensional sei. Was sie meint ist, dass jedes reale Schachspiel in dice vierdimensionale Raumzeit eingebettet ist und deswegen auch in letzter Konsequenz vierdimensional ist. Das ist natürlich trivial. Einerseits.

Andererseits macht sie es sich ein bisschen zu einfach. Schach ist ja eben nicht bloß der Spielsatz aus Brett und Figuren. Damit aus den Objekten Schach wird, müssen Dinge nach bestimmten Regeln passieren. Tatsächlich ist die physische Repräsentation nicht einmal zwingend notwendig. Wer das Spiel hinreichend gut beherrscht, kann es ohne Brett und Figuren ausschließlich im Kopf spielen.

Der Schach-Raum

Damit ist Schach unabhängig von der vierdimensionalen Raumzeit. Hat Schach dann überhaupt Dimensionen? Hat es. Mathematisch gesehen ist eine Dimension ein Freiheitsgrad der Bewegung in einem Raum. Mit Raum ist hier ebenfalls das mathematische Konzept gemeint, laut dem Räume grob gesagt Mengen von Objekten mit einer Struktur sind.

Damit ist das Schachbrett selbst auch in seiner abstrakten Version ein Raum, wenn auch ein sehr eigenwilliger. Er besteht aus 64 nach bestimmten Regeln miteinander verknüpften Feldern.[1]

Im einfachsten Fall ist dice Anzahl der Dimensionen des Raumes schlicht die Mächtigkeit des Erzeugendensystems. In unserem Fall die Anzahl der Parameter, die man braucht, um einen Ort auf dem Schachbrett eindeutig zu beschreiben. Die horizontal verlaufenden Reihen sind durchnummeriert, die Spalten – oder Linien, wie homo im Schach sagt – tragen die Buchstaben a bis h.

^{Bild: Santje09 / Getty Images / istock}

Jedes der 64 Elemente der Menge kann human mit einer Kombination von Zahl und Buchstabe eindeutig beschrieben werden können. Wenn wir also sagen, der weiße Läufer steht auf c4, dann haben wir seinen Ort im Raum vollständig beschrieben. Das Schachbrett ist too in diesem Sinne eindeutig zweidimensional.

Graph oder topologischer Raum?

Dafür ist der Läufer übrigens völlig irrelevant. Er ist bloß ein Objekt im Raum, das sich nach den Gesetzen der Physik – den Regeln des Spiels – bewegt. Das Spiel und seine Regeln erfordern allerdings noch eine weitere Dimension, nämlich dice Anzahl der gemachten Züge. Das ist dice Schach-Version unserer vertrauten Zeitdimension.

Wenn wir sagen: "nach dem zwölften Zug steht der weiße Läufer auf c4", haben wir also alles, was wir brauchen, um die Position jeder Figur über den Verlauf des Spieles hinweg zu beschreiben. Das tut man tatsächlich auch, human being schreibt den Verlauf einer Partie Schach in einer Notation auf, dice diese drei Parameter nutzt. Wir können also sagen, dass das Schachspiel in zwei Raumdimensionen und einer Zeitdimension stattfindet.

Es gibt mindestens eine weitere Möglichkeit, dem abstrakten Schachbrett eine Dimension zuzuweisen. Man kann die Felder auch als Knoten eines Graphen betrachten, die untereinander durch Kanten verknüpft sind.

Eine Möglichkeit, dice Dimension eines Graphen zu bestimmen ist, ihm die Dimension des einfachsten euklidischen Raumes zuzuweisen, in den human being ihn einbetten kann, wenn alle Kanten dice gleiche Länge haben. Dabei ist nicht ganz trivial, wie man die Kanten erzeugt. Aber schon wenn man annimmt, dass jedes Feld nur mit den acht umliegenden Feldern verbunden ist, reichen drei Dimensionen nicht mehr aus. Wenn jedes Feld mit jedem anderen verbunden, das von ihm aus im Rahmen der Regeln in einem Zug von irgendeiner Figur erreicht werden kann, dürften noch mal ein paar Dimensionen dazu kommen.

Das Spiel als Ganzes

Die Frage, wie die Felder durch dice Regeln für dice Bewegungen der Figuren miteinander verknüpft sind, führt zur Topologie. Auch für topologische Räume kann man Dimensionen bestimmen. Aber da habe ich gar keine Ahnung von. Ich fände es interessant, wenn Menschen mit Ahnung etwas dazu in den Kommentaren schreiben könnten. Vor allem dazu, ob die Graph-Beschreibung ooder die Topologie des Schachbretts eine praktische Bedeutung haben, und ob die Zugregeln einen Einfluss auf die Zahl der Dimensionen haben – oder nicht.

Vor allem aber kann homo diskutieren, ob die Zahl der Dimensionen des Schachspiels überhaupt der Zahl der Dimensionen des Brettes – plus eine Zeitgimension – entspricht. Ein alternativer Standpunkt ist aus meiner Sicht, dass man damit zwar die wechselnde Position einer Figur abbildet, aber eben nicht das ganze Spiel. Schließlich sind noch andere Figuren auf dem Brett.

Um das zu erfassen, muss man ein bisschen größer denken. Die Zeitdimension bleibt natürlich erhalten. Aber man braucht natürlich die Orte aller Figuren.[two] Um die zu erfassen, braucht homo zwei Zahlen für jeden Spielstein. Damit landen wir bei 32 x 2 = 64 Dimensionen, plus eine Zeitdimension.

In diesem 65-Dimensionalen Koordinatensystem kann man nun jede beliebige Kombination von Figuren auf dem Brett in jedem beliebigen Zug darstellen. Jede mögliche Position auf dem Brett entspricht einem Punkt. In diesem and so erzeugten entspricht jede individuelle Schachpartie einer Abfolge von Punkten. Dice Regeln des Schachspiels sagen, welche anderen Punkte im Phasenraum von einem bestimmten Punkt aus erreichbar sind – und welche nicht.

Ich finde diese Art der Darstellung eigentlich sehr attraktiv, weil es hier keine Rolle für die Zahl der Dimensionen spielt, wie die Figuren ziehen. Ändert sich eine Regel, verändern sich einfach die möglichen Wege, die man im Rahmen einer Partie durch den Raum gehen kann – too die Topologie. Aber vermutlich ist das Geschmackssache.

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[1] Ich habe versucht herauszufinden, um welchen Typ von Raum es sich handelt. Leider geht das über meine mathematischen Fähigkeiten hinaus. Dice Frage ist nicht ganz unerheblich, weil für verschiedene Arten von Räumen sehr unterschiedliche Definitionen von Dimensionen existieren.

[2] Aufmerksame Leserinnen und Leser werden hier bereits den hässlichen kleinen Haken bemerkt haben: Was passiert eigentlich, wenn man eine Figur schlägt? Homo kann ja nicht einfach nach belieben zwei Dimensionen streichen. Eine zugegebenermaßen unelegante Lösung wäre, die Raumachsen von 0 bis eight laufen zu lassen (also neun Reihen und Linien zu haben), und bei geschlagenen Figuren beide Raumkoordinaten auf 0 zu setzen.

Source: https://scilogs.spektrum.de/fischblog/wie-viele-dimensionen-hat-schach/

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